Uitleg van Einstein relativiteitstheorie - enkele formules voor de geinteresseerde o.a. licht


Nederlands (Dutch) English (Engels)

bulb


Terug


Toch wil ik nog enkele formules geven voor de geinteresseerde (12/10/20) en wat grafische voorstellingen voor tijdsdilatatie en lengte contractie uit 2014 onder, verplaatst uit een andere webpagina. Ook een eigen visuele eenvoudig te volgen wiskundige afleiding voor √(1 - v²/c²).

Zonder Lorentz kan men al beredeneren (voorspellen) dat een persoon/object met een constante snelheid v in stelsel in rust A, de tijd t' in zijn eigen stelsel in rust B, zou kunnen ervaren als t' = t . ( 1 - v/c) waarin t de tijd is in stelsel A. Deze formule is dus niet juist (zie Lorentz), maar voorspelt al reeds een tijdsvertraging. Zie onderstaand tijdsdiagram. Schijnbaar geeft de eigen verplaatsing een stukje tijdverlies (in B minder passerend licht gemeten van bron in A, en moet met meegenomen klok toch weer c geven). (23/10/20) Nu weet ik in 2020 dat als de tijd trager gaat, je het voorbijgaande licht of materie uit een snellere tijd vertraagd voorbij ziet komen, dat is de natuur, een waarnemer uit die snellere tijd kan dat beredeneren, jijzelf in die tragere tijd bent dat niet bewust. Ik had in 2014 het gevoel dat ik met mijn tekening hieronder het een en ander visueel goed kon aantonen en zodoende de formule van de tijdsvertraging kon afleiden, dat was toen niet gelukt (zie onder), maar dat is nu na enkele dagen denken wel gelukt, de tekening klopt inderdaad dus. Dus ik ga nu uitleggen wat de waarnemer ziet en wat degene ziet die zelf in beweging is. Het uitgangspunt is dat iedereen in zijn eigen lokale tijd altijd het licht ziet passeren met eenzelfde snelheid c per (tragere/snellere) seconde, dus de afgelegde afstand van licht kan als de omgerekende lokale tijd worden gebruikt. De waarnemer ziet dat degene die zelf in beweging is, een stukje minder ziet van het passerende licht uit de snellere tijd van de waarnemer, nl. (1 - v/c) van het passerende licht, nl. door zijn eigen verplaatsing ziet deze een stukje minder licht voorbij komen. Dus degene die zelf in beweging is, ziet omgerekend een tragere tijd t' = t . (1 - v/c). Als je de richting van het licht omdraait, dan zou degene die zelf in beweging is, een snellere tijd zien nl. t' = t . (1 + v/c). Maar de richting van het licht mag geen verschil geven, dus een waarnemer moet zien dat er per saldo even veel licht voorbij komt bij degene die in beweging is, en degene die in beweging is moet ook onafhankelijk van de richting hetzelfde zien. Daarom moet je als waarnemer eerst het saldo licht bekijken bij degene die in beweging is door het licht gespiegeld in 2 richtingen te laten gaan, heen zou dat (1 - v/c) van het passerende licht zijn, terug zou daar nog (1 + v/c) . (1 - v/c) als saldo van overblijven. Als degene die in beweging is andersom in richting wordt bekeken, zou dat saldo (1 - v/c) . (1 + v/c) zijn, dus exact hetzelfde, dit saldo kan geschreven worden als (1 - v²/c²). Degene die in beweging is moet in beide richtingen dezelfde hoeveelheid licht voorbij zien komen en dat moet voor de waarnemer ook hetzelfde saldo opleveren. Dat kan dus wiskundig gezien enkel de bekende vertragingsfactor (tijdsdilatatie) √ (1 - v²/c²) zijn, het saldo licht blijft hetzelfde voor de waarnemer want dat is √ (1 - v²/c²) . √ (1 - v²/c²) = (1 - v²/c²) (wiskundig lijkt het op een soort constant inwendig product).

light

M.b.v. de Lorentz formules kan men tijden/locaties van het ene stelsel in rust B voor een object omzetten naar een ander stelsel in rust A voor een waarnemer, waarin dat object een constante snelheid v heeft.

De Lorentz formules voor resp. locatie en tijd zijn: x' = γ . (x - v. t) en t' = γ . (t - v.x/c²) waarbij γ = 1 / √ (1 - v²/c²). De locaties x en x' kan men visueel maken door een coördinatenstelsel aan te brengen in het stelsel in rust van de waarnemer. Ik laat nu voor de eenvoud de y en z coördinaten buiten beschouwing.

Stel dat een persoon/object zich beweegt met een constante snelheid v in stelsel in rust A van de waarnemer, dan vindt men voor de tijd in die locaties waarin de persoon/object in rust is, t' = 1 / γ . t
D.w.z. dat de waarnemer alle tijden van de persoon/object in stelsel A ziet als t' = 1 / γ . t en in locatie x' = 0 (in locaties waar de persoon niet in rust is, de waarnemer ziet de lengte, hier breedte, in de bewegingsrichting van het stelsel korter, lengte contractie genoemd, de afstand tussen 2 coördinaten voor dezelfde tijd, hoogte blijft gelijk). Lengte contractie is een gevolg van twee verschillende tijden in 1 richting, normale tijd + langzamere tijd. Loodrecht op de bewegingsrichting van het stelsel is er geen lengte contractie, enkel langzamere tijd (tijdsdilatatie).

Stel nu dat het bewegende object een lichtbron is die licht uitzendt. Dan worden de formules voor de locatie en tijd van de lichtgolf (uiterlijk van licht) resp. x = γ . x' . (1 - v/c) x' = γ . x . (1 - v/c) en t = γ . t'. (1 - v/c) t' = γ . t. (1 - v/c) voor de waarnemer die stilstaat. Dit beschrijft het relativistisch Doppler effect van licht (als een lichtbron beweegt verandert de frequentie van licht, en dus de kleur, denk aan de rode en blauwe twinkelende sterren die we zien). Dus de waarnemer ervaart het Doppler effect. Het pad van licht wordt smaller waargenomen (vergelijk met lengte contractie voor materialen), Bovendien voor dezelfde tijdsvertraging kan de frequentie anders worden. Tijdsdilatatie is in elk bewegend stelsel overal gelijk, maar het verloop van tijd en verplaatsing kan voor elk bewegend object anders worden waargenomen. Zo ook als je het verloop van de tijd bekijkt van het Doppler Effect. Anders weergegeven is dit hier t = 1/γ . t' . c/(c + v) t' = γ . t . (c - v)/c Dus de tijd gaat niet nog langzamer, maar het geheel wordt smaller waargenomen (ook x = 1/γ . x' . c/(c + v) x' = γ . x . (c - v)/c).

Nu dit ook echt berekenen voor 1 lichtgolf, hoe je die zou zien staande op de juiste locatie, als volgt (grafisch zie eerste link onder 2.4onder):

bij v = .5c worden de punten 0 en 2π, 0 en 1.1547π, dus het geheel wordt smaller geobserveerd (bij -2π en 0, dan -1.1547π en 0). (12/10/20) Normaal laten de Lorentz formules voor tijd en locatie zien hoe een beweging eruit ziet in een bewegend stelsel voor zowel een waarnemer binnen het stelsel (die de traagheid van tijd niet ervaart) als daarbuiten (in stilstand dus), lengte contractie nu even weggelaten. Het uitgangspunt van Lorentz is de constante lichtsnelheid onder alle omstandigheden. Als men een lichtgolf heeft in een bewegend stelsel, dan ziet men als waarnemer in het bewegende stelsel die lichtgolf hetzelfde als in het stilstaande stelsel, dat deze trager gaat ervaart de waarnemer niet. Maar een waarnemer buiten het bewegende stelsel, in stilstand dus, ziet die lichtgolf anders nl. met een andere frequentie (Doppler effect), dus in dit geval van licht zien beide waarnemers niet hetzelfde.

Het mag nu wel duidelijk zijn dat elke locatie zijn eigen tijd ervaart, dus voor een locatie moet naast de x,y,z coordinaten ook de tijd t worden aangegeven als een coördinaat. Dus met Lorentz wordt een locatie (t,x,y,z) geconverteerd naar (t',x',y',z').

Terug



Correction text second graph: Light wave from system S2 observed in S1 (Doppler effect, S2 or light source going to the right)
Correction text third graph: Light wave from system S2 observed in S1 (Doppler effect, S2 or light source coming from the left), and v = .5c

total